k^2 - 2k)x + (2k^2 - 2k - \frac{3}{2}) = 0(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?23)=0

利用韦达定理 xA+xB=4k2?2k1+2k2x_A + x_B = \frac{4k^2 - 2k}{1+2k^2}xA+xB=1+2k24k2?2k。

因为P是AB中点，所以 xP=xA+xB2=1x_P = \frac{x_A+x_B}{2} = 1xP=2xA+xB=1。

4k2?2k2(1+2k2)=1\frac{4k^2 - 2k}{2(1+2k^2)} = 12(1+2k2)4k2?2k=1

解这个关于k的方程，得到 k=?1k = -1k=?1。

“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。

这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！

真正的挑战，是第三问。

“第三问，在第二问的条件下，过点P作直线m垂直于l，椭圆C于M, N两点。试问是否存在一个常数λ，使得 |PM|·|PN| = λ |PA|·|PB| 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”

这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。

秦风的眉微微蹙起。

他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。它需要更层次的理解和更灵活的运用。

“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。

直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。

直线m的方程为 y?12=1(x?1)y - \frac{1}{2} = 1(x - 1)y?21=1(x?1)，即 y=x?12y = x - \frac{1}{2}y=x?21。

将直线m的方程代椭圆方程 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：

x22+(x?12)2=1\frac{x^2}{2} + (x - \frac{1}{2})^2 = 12x2+(x?21)2=1

x22+x2?x+14=1\frac{x^2}{2} + x^2 - x + \frac{1}{4} = 12x2+x2?x+41=1

32x2?x?34=0\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{4} = 023x2?x?43=0

6x2?4x?3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2?4x?3=0

设M(x?, y?)，N(x?, y?)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1 x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。

∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2|PM| \cdot |PN| = \sqrt{(x_1-x_P)^2 + (y_1-y_P)^2} \cdot \sqrt{(x_2-x_P)^2 + (y_2-y_P)^2}∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2

由于点M, N在直线 y=x?12y = x - \frac{1}{2}y=x?21 上，且P(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。

实际上，P是弦MN上的一个定点。

∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)|PM| \cdot |PN| = |(x_1-x_P)(x_2-x_P)| \cdot (1+k_m^2)∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。

∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)|PM| \cdot |PN| = |x_1x_2 - x_P(x_1+x_2) + x_P^2| \cdot (1+1^2)∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)

∣PM∣?∣PN∣=∣?12?1(23)+12∣?2=∣?12?23+1∣?2=∣?3+4?66∣?2=∣?16∣?2=13|PM| \cdot |PN| = |-\frac{1}{2} - 1(\frac{2}{3}) + 1^2| \cdot 2 = |-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 1| \cdot 2 = |-\frac{3+4-6}{6}| \cdot 2 = |-\frac{1}{6}| \cdot 2 = \frac{1}{3}∣PM∣?∣PN∣=∣?21?1(32)+12∣?2=∣?21?32+1∣?2=∣?63+4?6∣?2=∣?61∣?2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算 |PA|·|PB|。

直线l的方程为 y?12=?1(x?1)y - \frac{1}{2} = -1(x - 1)y?21=?1(x?1)，即 y=?x+32y = -x + \frac{3}{2}y=?x+23。

代椭圆方程 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：

x22+(?x+32)2=1\frac{x^2}{2} + (-x + \frac{3}{2})^2 = 12x2+(?x+23)2=1

x22+x2?3x+94=1\frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 12x2+x2?3x+49=1

32x2?3x+54=0\frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{4} = 023x2?3x+45=0

6x2?12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2?12x+5=0

设A(x?, y?)，B(x?, y?)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = \frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = \frac{5}{6}x3x4=65。

同样，P(1, 1/2)是弦AB的中点。

∣PA∣?∣PB∣=∣(x3?xP)(x4?xP)∣?(1+kl2)|PA| \cdot |PB| = |(x_3-x_P)(x_4-x_P)| \cdot (