“理发师的故事？那是什么？”颖儿眨着眼睛问道。地址发布邮箱 ltxsbǎ@ＧＭＡＩＬ．CＯＭ

“一个能形象表述这个悖论的故事。”齐点说道：“原本在我的计划中，你应该是从那个故事中提取出数学信息，然后发现这个悖论。”

“现在你已经提前发现了，那就没必要讲这个故事了。你想听吗？”

“嗯……”颖儿犹豫了一下，说道：“不用了。”

她不知道自己明天还能不能出来，相比于听故事，现在她更希望多了解一点基础知识。

比如朴素集合论该怎么加上限制？

听到颖儿的回答，齐点眼中闪过一抹惊讶。

这个年纪的孩子正是贪玩的时候，老师们讲课都是费尽心思吸引注意力，这个小妹妹不听有趣的故事，而是选择了枯燥无味的数学。

这天生就是研究数学的料啊。

想到这里，他走到白板旁边，身体微侧，进讲课状态。

“为了解决朴素集合论的这个问题，我们要把集合论公理化，用公理对集合加以限制。”

“所以我们接下来讲……”

齐点在白板上写下几个大字

“ZFC公理系统。”

“这部分内容可能有点难，你需要集中注意力，有什么不理解的地方可以举手提问。”

颖儿用力地点了点，坐得非常端正。

“ZFC公理系统由ZF公理系统和选择系统组成。下面我们先来讲ZF公理系统的八条公理。”

“首先是外延公理，一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。”

“……”

齐点讲的很简洁，没有做过多的解释，也没有去举一些形象的例子。

因为颖儿可以理解。

他讲的认真，还简单讲了一下皮亚诺公理系统，颖儿听得迷。

所谓公理，是指依据类理的不证自明的基本事实，不需要再加证明的基本命题。

从这些公理出发，颖儿第一次真正感受到了数学的严谨。

正是这种严谨令她着迷。

不知道什么时候，杨岁和吴垠一起走了进来。

见到这两，齐点迅速讲完这一部分内容，暂停讲课，恭敬地跟两打招呼。

“吴部长。”

“荣誉委员。”

颖儿和柳绵也起身打招呼。

杨岁双手背后，感觉自己像是那种查课的教导主任。发布页Ltxsdz…℃〇M

他踱步到白板面前，还没看就先问齐点：“你这是在讲什么啊？”

齐点回答道：“数学上集合论的内容。”

杨岁眼睛一亮。

集合？

这我熟啊！

高中数学第一章就是集合。

放卷子了就是送分题。

他看向白板，准备用自己有限的学识来指导一下。

当看清白板上的内容后，他懵了一下。

嗯……

这次上面符号他都认识。

那些式子的意思他也能看懂。

但那一排文字怎么那么拗啊？

“外延定理，空集存在定理……不就是相等和空集吗？整的还挺高大上的。”

“无序对公理……给定任何集合x和任何集合y，有着一个集合A使得，给定任何集合z，z是A的成员，当且仅当z等于x或者z等于y。”

“不是，这是什么东西？这语法都有问题吧？”

齐点赶忙解释道：“其实就是对于任意两个集合 x 和 y ，存在一个集合 A ，使得 A 的元素恰好是 x 和 y 。”

杨岁听了他的解释，又看向白板上的公式描述才理解。

理解后就感觉有种说废话的感觉。

但他又看见了后面这个无序对公理的一般化……

好长一串……

下面那些公理一个比一个拗，有些甚至他都快看不懂了。

“这真是集合论吗？我学的不是这样啊……”

我记得集合就是很简单的东西啊。

他又看向颖儿。

“颖儿，你能听懂吗？”

颖儿点了点。

现在讲的都是公理，属于那种只要理解的意思，就觉得很显然的内容，连证明都不需要。

杨岁只觉得这些东西绕来绕去的，他脑子里的神经细胞都快缠住了。

他没再纠结集合的问题，又对齐点问道：“你直接给她开高中的课了？”

“高中？”齐点愣了一下，随即说道：“没有啊，吴部长说因材施教，我没有按正常的课本走，打算先给这位小天才讲一下基础知识。”

杨岁问道：“但这集合不是高中数学的第一章吗？”

齐点说道：“可集合论是整个现代数学的基础啊，所以我才从集合论讲起。”

杨岁懵了，他又说道：“听你这意思，你好像有一套教学计划，能给我讲讲吗？”

这句话说出来，好像更像检查老师的教导主任了。

“当然可以。”齐点将那张a4纸拿了过来，说道：“时间上有些仓促，计划制定的不太详细。”

“没事没事，有计划比没计划强一万倍。”

杨岁接过那张a4纸，本来他以为就是讲函数、数列、向量，几何这些内容。

但齐点这个教学大纲好像跟他想象不太一样……

他是先引一个简单的概念，然后再讲数学知识，但是……

【这是苹果，这是桃子——世间万物是可分类的！

朴素集合论和罗素悖论。

ZFC公理系统。

映。】

【一，二，三！——学会数数

集合的势。

皮亚诺公理和自然数。

整数和有理数。】

到这他觉得虽然有点离谱，但还能接受。再往后，他就懵了。

【一加一等于二！——运算带来新的结构！

群及其质。

环及其质。

域及其质。】

【从过去到未来我一直都在！——连续地描述世界

实数的定义和连续统假设。

序列的极限。

几个等价的完备定理。】

……

看这个大纲，杨岁已经不理解后面要讲什么了。

这都什么跟什么啊！

不是在说苹果和桃子吗？怎么到集合了？

不是在数数吗？皮亚诺公理是什么？

一加一等于二我会。群是什么？环是什么？域是什么？

我是谁？

我在哪？

我要什么？

杨岁拿着这个教学大纲，嘴唇颤抖了很久才开问道：“你管这叫基础？”

“嗯……这位小朋友对数学的严谨比较在乎，这样讲可以给她打下一个比较坚实的数学基础。”

齐点没有直接回答。